浅谈理想

本文除了复习内容外公式含量内容极少，可作为科普文章阅读。

复习

大家在课堂上想必都学过理想的概念：

$(R,+,\cdot)$ $I\subset R$ ，若：
$(I,+)$ $(R,+)$ 的子群；
理想在乘法下“吸收”了整个环到理想：
$\forall a\in I, \forall r\in R$ $ra \in I$ $I$ $R$ 的左理想；
$\forall a\in I, \forall r\in R$ $ar \in I$ $I$ $R$ 的右理想；
$I$ $R$ $R$ $I$ $R$ $I \lhd R$ ）。

也可以类似正规子群的定义，将理想看为环同态的核。

以及学习了素理想与极大理想的概念：

$(R,+,\cdot)$ 为交换环：
$\mathfrak{p}\lhd R$ $\mathfrak{p} \neq R$ $\forall a,b\in R, (ab\in \mathfrak{p} \Leftrightarrow a\in \mathfrak{p} \or b\in \mathfrak{p})$ $\mathfrak{p}$ 为素理想。
$\mathfrak{m}\lhd R$ $\mathfrak{m} \neq R$ $\forall I \lhd R$ $I \supsetneq \mathfrak{m} \Rightarrow I=R$ $\mathfrak{m}$ 为极大理想。

然后一步步优化环的性质到域：

$(R,+,\cdot)$ 。
$R$ 对乘法有交换律。
$\mathfrak{p}$ $\Rightarrow$ $\mathfrak{p}$ $\Leftrightarrow$ $R/\mathfrak{p}$ 为整环。
整环：有乘法单位元无零因子的交换环。
$a|b\Leftrightarrow (b)\sub (a)$ 。
$\forall a,b\neq 0,\exist \gcd(a,b)\in R$ 。
$(m)+(n)=(\gcd(m,n));\quad (m)\cap(n)=(\text{lcm}(m,n))$ 。
唯一分解整环（唯一析因环）：每个非零元素都可以唯一地被分解为有限多个不可约元素的乘积。
$I=(a)=Ra$ ）。
$\mathfrak{p}$ $\Rightarrow$ $\mathfrak{p}$ 为极大理想。
欧几里得整环：带余除法。
$\Leftrightarrow$ $\{0\}$ $R$ $R$ 中唯二的理想。

背景 & 引入

$\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ $6 = 2 \times 3=(1 + \sqrt{-5}) \times (1 - \sqrt{-5})$ ，且这四个元素都是不可约的（需要证明一下）。

$F$ $F-$ $\mathcal O_F$ $\mathbb Q$ $\mathbb Z$ $\mathcal O_F$ $\mathbb Z$ $F=\mathbb Q[\sqrt{-5}]$ $\mathcal O_F=\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ 。

$\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ 作为例子，他令：

\begin{align*} (2)=\alpha^2,(3)=\beta_1\beta_2&;(1+\sqrt{-5})=\alpha\beta_1,(1-\sqrt{-5})=\alpha\beta_2\\ \alpha^2\cdot \beta_1\beta_2&=(6)=\alpha\beta_1\cdot \alpha \beta_2 \end{align*}

他并没有明确定义理想数，他从这写例子推断出可能存在这样的“理想因子”，实际上真正的理想的概念已经呼之欲出了。Dedekind 根据他的想法，证明这些“理想因子”可以通过一组实际数字来实现，于是他将这些集合称为理想。而 Kummer 所猜想的环也被他完善成 Dedekind整环，在Dedekind整环中，任意理想可以唯一地分解成素理想之积。

$A$ Noether环 $A$ $\mathfrak a_1 \sub \mathfrak a_2 \sub \dots \sub \mathfrak a_n \sub \dots$ $N\in \mathbb N$ $\forall n,m\geq N$ $\mathfrak a_n=\mathfrak a_m$ $A$ 的每个理想都是有限生成的。

$1$ 的Noether整闭整环被称为 Dedekind整环。

$R$ $\mathfrak a$ $\mathfrak p_1,\dots,\mathfrak p_s$ 的乘积。

费马大定理与理想

Kummer 主攻数论方向，研究费马猜想与高次互反律。

$n=7$ $\alpha^n=1$ $\alpha \neq \pm 1$ $x+\alpha^ky$ 与其他项互质。

x^n+y^n=(x+y)(x+\alpha y)\dots(x+\alpha^{n-1}y)

Lamé 声称这份证明很大程度基于 Liouville 的工作，但是 Liouville 认为对于 "Roots of Unity" 的唯一分解的假设并非合理。Cauchy 对 Lamé 的方法很乐观，他宣布他讲用类似的技术解决费马猜想。

$n=2$ $n=3$ 显然有 $n\geq 4$ $n\geq 4$ 。

$n\geq 4$ 的唯一分解的成立了，于是 Lamé 和 Cauchy 开始竞争这个证明。3月22日，两人向巴黎学院递交证明。不幸的是，正如我们所知，群论的证明在于细节，唯一分解的证明比他们预见的还要复杂。而5月24日，Liouville 在他的杂志上重新刊登了 Kummer 在1844年的证明，宣告 Lamé 证明是错误的。

$h_p$ $h_p$ $p$ $p$ $n = p$ $100$ 以下的素数，除了三个“不正规”的：37、59和67，他证明了其他素数，费马猜想都是正确的。现在看来这种思路实际上是用一种特殊的方式，构造了分圆整数环到有限域的同态（严谨一点说，其实是相关的估值），他的发现成为费马猜想推广的重大突破。也成为今天所谓的代数数论的基础。

20世纪后，Kummer 关于分圆域的类数的理论被岩泽健吉推广为岩泽理论，然后被应用到 motive 理论中。

后记

Kummer 自称 Dirichlet 是他真正的老师，他的第一任妻子为 Dirichlet 妻子的表妹。他带过很多学生，其中有两个比较出名：

$x\mapsto x^{p}$ $\|A\|_F=\sqrt{\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2}=\sqrt{\operatorname{trace}(A^{{}^*} A)}$ ）等。
$K/\mathbb Q$ $\mathbb Q$ $K$ 是一个分圆域的子域），Kronecker引理等。
$f:\mathbb R^n\to \mathbb R$ $\|v\|\|w\|\geq |\langle v,\,w\rangle |$ ）等。

引用

Mathematics and Its History, John Stillwell.
Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory.
Ernst Edward Kummer, Collected Papers(edited by André Weil), Vol. I: Contributions to number theory, viii + 957 pp.
Ideal number - Wikipedia.
Algebraic number field - Wikipedia.
Cyclotomic field - Wikipedia.
Noetherian ring - Wikipedia.