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浅谈理想

本文除了复习内容外公式含量内容极少,可作为科普文章阅读。

浅谈理想复习背景 & 引入费马大定理与理想后记引用

复习

大家在课堂上想必都学过理想的概念:

是一个环,,若:

  1. 的子群;

  2. 理想在乘法下“吸收”了整个环到理想:

    • ,则称 左理想
    • ,则称 右理想

    既是 的左理想,又是 的右理想,则称 的理想(下记 )。

也可以类似正规子群的定义,将理想看为环同态的核。

以及学习了素理想与极大理想的概念:

为交换环:

然后一步步优化环的性质到域:

  1. 环:

  2. 交换环: 对乘法有交换律。

    为极大理想 为素理想 为整环。

  3. 整环:有乘法单位元无零因子的交换环。

  4. 最大公因数整环:

  5. 唯一分解整环(唯一析因环):每个非零元素都可以唯一地被分解为有限多个不可约元素的乘积。

  6. 主理想整环:所有理想都是主理想()。

    为素理想 为极大理想。

  7. 欧几里得整环:带余除法。

  8. 域:可交换的除环 中唯二的理想。

背景 & 引入

算术基本定理:大于1的自然数可以唯一分解成有限个素数的乘积。这个定理在数论中相当重要,把整数环上的基本定理推广到一般环上却出现了问题:例如在 上有 ,且这四个元素都是不可约的(需要证明一下)。

而1830年 Galois 用群的观点来确定多项式方程的可解性,数学家们发现群论在数论中的应用潜力,他们开始寻找数论中“素数”的概念,并试图将算术基本定理推广。Kummer 在1844年发表了分圆域中唯一分解定理不成立的性质。Dedekind 接着提出了“代数整数”的概念:能够成为某个首一整数系数多项式的根的数,且代数数域 中所有代数整数构成一个环,称为整数环 ,例如 上的代数整数环为 。但是 有不同的性质,其不一定为唯一分解整环。例如 的整数环为

根据上一段的两种分解方式可见,有理整数的唯一分解性质在不少代数数域的整数环中失效。Kummer 注意到了这一点,提出了理想数的概念(更多故事详见下章“费马大定理与理想”)。他在1877年的著作中,以 作为例子,他令:

他并没有明确定义理想数,他从这写例子推断出可能存在这样的“理想因子”,实际上真正的理想的概念已经呼之欲出了。Dedekind 根据他的想法,证明这些“理想因子”可以通过一组实际数字来实现,于是他将这些集合称为 理想。而 Kummer 所猜想的环也被他完善成 Dedekind整环,在Dedekind整环中,任意理想可以唯一地分解成素理想之积。

被称为 Noether环,当且仅当由 理想构成的升链 ,必存在 ,有 ,都有 ;或者说 的每个理想都是有限生成的。

素理想链的最大长度等于 的Noether整闭整环被称为 Dedekind整环

上面更加严谨的说法为Dedekind整环 上每个非平凡理想 均可被唯一地表示为素理想 的乘积。

费马大定理与理想

Kummer 主攻数论方向,研究费马猜想与高次互反律。

1847年3月1日,Gabriel Lamé宣布,他已经找到了费马猜想的完整证明(他在早些时候证明了 的情况),提供的方法涉及 "Roots of Unity",也就是复数 。证明基于下面的等式,本质是说明每个 与其他项互质。

Lamé 声称这份证明很大程度基于 Liouville 的工作,但是 Liouville 认为对于 "Roots of Unity" 的唯一分解的假设并非合理。Cauchy 对 Lamé 的方法很乐观,他宣布他讲用类似的技术解决费马猜想。

3月15日,Pierre Wantzel 宣布他证明了这个假设,具体证明包含 下的独特因式分解,然后声称 显然有 成立。不久之后,Cauchy 证明他的方法并不使用

此时 Lamé 的证明距离费马猜想的答案看起来只差一步 的唯一分解的成立了,于是 Lamé 和 Cauchy 开始竞争这个证明。3月22日,两人向巴黎学院递交证明。不幸的是,正如我们所知,群论的证明在于细节,唯一分解的证明比他们预见的还要复杂。而5月24日,Liouville 在他的杂志上重新刊登了 Kummer 在1844年的证明,宣告 Lamé 证明是错误的。

但是 Kummer 认为还有补救的空间,据此还提出了“理想数”的概念,他将代数整数的素数分解不唯一的概念量化为类数:,并证明了如果 不能被 整除(这样的 被称为正规素数)那么费马的猜想对于 是成立的。通过检验 以下的素数,除了三个“不正规”的:37、59和67,他证明了其他素数,费马猜想都是正确的。现在看来这种思路实际上是用一种特殊的方式,构造了分圆整数环到有限域的同态(严谨一点说,其实是相关的估值),他的发现成为费马猜想推广的重大突破。也成为今天所谓的代数数论的基础。

20世纪后,Kummer 关于分圆域的类数的理论被岩泽健吉推广为岩泽理论,然后被应用到 motive 理论中。

后记

Kummer 自称 Dirichlet 是他真正的老师,他的第一任妻子为 Dirichlet 妻子的表妹。他带过很多学生,其中有两个比较出名:

引用

  1. Mathematics and Its History, John Stillwell.
  2. Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory.
  3. Ernst Edward Kummer, Collected Papers(edited by André Weil), Vol. I: Contributions to number theory, viii + 957 pp.
  4. Ideal number - Wikipedia.
  5. Algebraic number field - Wikipedia.
  6. Cyclotomic field - Wikipedia.
  7. Noetherian ring - Wikipedia.